cinq exercices pour poser les bases sur l'tude de fonctions
04-18-2010

EXERCICE 1

f est la fonction dfinie sur par x 2x.


a) Calculer les images par f des rels 0; 2; -4.

b) Vrifier que 2 et - 2 ont pour image 4.

c) Pourquoi -4 n'est-il l'image d'aucun rel?

d) Quels sont les rels qui ont 5/4 pour image par f?


EXERCICE 2

f est la fonction dfinie sur par : x x + 3x + 1


a) Calculer les images par f des rels 0; 1; -3 ; .

b) Trouver tous les rels qui ont pour image 1 par f.


EXERCICE 3

a) Quel est l'ensemble de dfinition de la fonction xx ?


b) Quel est le rel pour lequel on ne peut pas calculer ? Donnez alors l'ensemble de dfinition de la fonction x .

c) Quels sont les rels pour lesquels on peut calculer x ? Donnez alors l'ensemble de dfinition de la fonction x x .

d) Complter les phrases:

" Pour calculer , on commence par calculer x ; il faut donc que x...........

Puis on calcule son inverse ; il faut donc que x 0, donc x................... "

Donner l'ensemble de dfinition de la fonction x .


EXERCICE 4

Location de voiture


Une agence propose deux types de contrat de location d'une voiture pour une journe :

Premier type : 200 francs de forfait et 1 franc par kilomtre.

Deuxime type : 100 francs de forfait et 1,50 franc par kilomtre.

Pour x kilomtres parcourus, le prix payer est not f1(x) pour le premier type de contrat, et f2(x) pour le second.

a) Donner les expressions de f1(x) et f2(x). Construire dans un mme repre les reprsentations graphiques de ces fonctions pour x compris entre 0 et 500.

b) Indiquer, en utilisant le graphique, le type de contrat le plus avantageux suivant le nombre de kilomtres parcourus.

c) Retrouver et prciser ces rsultats par le calcul.


EXERCICE 5

Gomtrie


On dispose d'un carr de mtal de 20cm de ct. Pour fabriquer une bote paralllpipdique, on enlve chaque coin un carr de ct a et on relve les bords par pliage.

a) Exprimer le volume V = f(a) de cette bote en fonction de a.

b) Les rels -1 et 2,3 sont-ils dans l'ensemble de dfinition de cette fonction f ?








EXERCICE 1

a) Pour tout x,





b)



On a donc bien


c) La fonction f associe tout rel x un rel gal 2x. Or un carr est toujours positif, donc -4 ne peut tre l'image d'aucun rel x par la fonction f.


d) On cherche les x tels que



Il faut donc rsoudre l'quation






EXERCICE 2

a) Pour tout rel x, f(x) = x + 3x + 1


f(0) = 0 + 30 + 1 = 1

f(1) = 1 + 31 + 1 = 5



f


b) On cherche tous les rels x tels que f(x) = 1

f(x) = 1 x + 3x + 1 = 1


Rsolvons donc cette quation :

x + 3x + 1 = 1

x + 3x = 0

x (x + 3) = 0

x = 0 ou x = -3


EXERCICE 3

a) La fonction f : x x est dfinie pour tout x rel. On a donc :


Df =


b) Le rel ne peut pas tre calcul pour x = 0. L'ensemble de dfinition de la fonction f : x est donc :

Df = ] - ; 0 [ ] 0 ; + [


c) On peut calculer x pour tout rel x 0 . L'ensemble de dfinition de la fonction f : x x est donc :

Df = [ 0 ; + [


d) Pour calculer , on commence par calculer x ; il faut donc que x soit positif ou nul.

Puis on calcule son inverse ; il faut donc que x 0, donc x doit tre strictement positif.

La fonction f : x est donc dfinie sur ] 0 ; + [.


EXERCICE 4

a) Soit x le nombre de kilomtres effectus. Soit f(x) le prix total en francs.



f1(x) = Prix Forfait + Prix Kilomtrage

f1(x) = Prix Forfait + Prix au Kilomtre Nombre de Kilomtres


f1(x) = 200 + x


De la mme manire :


f2(x) = 100 + 1,50x


b) Raisonnement graphique




Jusqu' 200 km, c'est le contrat 2 qui est le plus avantageux (la droite de f2(x) est en dessous ce celle de f1(x)).

A partir de 200 km, c'est le contrat 1 qui devient plus avantageux (la droite de f1(x) est en dessous de celle de f2(x)).


c) Raisonnement par le calcul

Dans quel intervalle de x a-t-on f1(x) < f2(x) (contrat 1 plus avantageux) ?




On voit donc bien que le contrat 1 est plus avantageux que le deux pour x>200 (distance parcourue suprieure 200km)


Pour montrer que f2(x) est plus avantageux que f1(x) pour x<200, on procde de la mme faon que prcdemment.


EXERCICE 5

a) Le volume de la bote paralllpipdique est donn par :


V = L l h

avec L = l = 20 - 2a et h = a


V = a.(20 - 2a)

V = a.(20 - 2 20 2a + (2a))

V = 4a - 80a + 400a


b) a tant une longueur, on ne peut pas avoir a<0. Donc -1 n'est pas dans l'ensemble de dfinition de V = f(a)


De mme, d'un point de vue "physique", a ne peut pas tre suprieur 10 cm. 2,3 appartient donc l'ensemble de dfinition de V = f(a)

L'ensemble de dfinition de V = f(a) est :

Df = ]0 ; 10[



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