الـتـحـليـل التـوفـيـقي
10-02-2009

الـتـحـليـل التـوفـيـقي
1.1الــمـقد مــة
ندرس في هده الفقرة بعض مسائل العد المتعلقة بمجموعات منتهية ، هذا النوع من المسائل كثيرا ما يواجهنا في الحياة اليومية.
و تعد لعبة (( الرهان )) في سباقات الخيول أحد الأمثلة الأكثر شيوعا حيث يفوز في هذا النوع من الرهانات من (( يلعب ))
أرقام الخيول التي تحتل المراتب الثلاث الأولى (أي انه يختار ثلاثية من الأرقام مرتبة او غير مرتبة مع استبعاد الحالة التي فيها متسابقين
في نفس المرتبة ).وفي هذا الصدد يمكننا طرح الأسئلة التالية
ما هو عدد ((الرهانات)) اللازم ((لعبها)) حتى نضمن ((لعب))الخيول الثلاثة الفائزة (مع احترام الترتيب)؟
ما هو عدد حالات الوصول الممكنة ؟(عدد الثلاثيات الممكنة)؟
ما هو عدد الرهانات المطلوب ((لعبها))حتى نضمن لعب الخيول الفائزة (بدون ترتيب( ؟
يتعلق السؤال الأول بعدد التطبيقات المتباينة لمجموعة منتهية )عدد عناصرها هو عدد الخيول المشاركة في السباق (
في أخرى ) عدد عناصرها هو عدد الخيول المشاركة في السباق ( في أخرى )عدد عناصرها هو عدد المراتب التي تضمن الفوز(
و السؤال الثاني يتعلق بعدد التقابلات التي يمكن تعريفها من مجموعة ذات 3 عناصر في مجموعة ذات 3 عناصر.في يمثل الجواب
عن السؤال الثالث عدد الأجزاء التي يمكن تكوينها والتي يشتمل كل منها على 3 عناص

1.2 عــد د الـتـطبـيقـات الـمـجمـوعـات الـمـنـتهـيـةالـي اخـيره
1.2.1 بــعض الـخـواص الـمـجمـوعـات الـمـنـتهـيـة
نقدم في هذه الفقرة بعض الخواص المتعلقة بحساب العدد الأصلي لمجموعات منتهية.
في كل ما يلي , نعتبر E مجموعة منتهية,AوB مجموعتان جزئيتان كيفيتان منها.
لدينا الخواص التالية .
Card (
Card ( A B ) = Card (A) + Card (B) – Card ( A
اذا كان = فان Card (A Card (A) +Card (B)
اذا كان ) ’C (E) يرمز (E) إلى متممة A بالنسبة إلى E (
Card (A’) = Card (E) –Card (A)
Card (AB) = Card (A).Card (B) حيث يرمز A الى الجداء الديكارتى للمجموعتين  و 
و على الخصوص لدينا Card ( A² Card (A)]²
و بصفة عامة لدينا Card (AA) = Card(A)Card(A)……Card (A)

1.2.2 عــد د الـتـطبـيقــات مـن FالـيE
لتكن E وF مجموعتين منتهيتين حيث
Card (E) = p و Card (F) = n حيث  p و n
إن عدد التطبيقات من E و F هو nn…….n و هذا p مرة
نرمز لمجموعة التطبيقات من E إلى F ب ; F ( E , F ) : و نبرهن بالتراجع على p أن المجموعة F (E, F)
منتهية و أصليها هو
إن الخاصية صحيحة من أجل p = 1 أي إذا كان ( Card (E ) = 1)
بالفعل , توجد n إمكانية لصورة العنصر الوحيد في المجموعة E بأي تطبيق f . إذ
مثال : من أجل :
E = {a,b,c} و F = {1,2,3,4}
يكون عدد التطبيقات من E الى F هو أي 64 تطبيقا .
بالفعل , هناك 4 امكانيات لصورة العنصر a .
و 4 امكانيات لصورة العنصر b . و 4 امكانيات لصورة العنصر c .
و بالتالي يكون عدد التطبيقات هو
3.1.عــدد الـتطبـيقـات الـمـتبايـنـة مـن E في F
1.3.1. الـتـرتـيـبات
نسمي ترتيبة ل p عنصرا من عناصر المجموعة F , حيث , ,كل تطبيق متباين من في F .
فمثلا (a,b,c) و (a,c,b) , (b,c,d) هي ثلاث ترتيبات مختلفة لثلاثة عناصر من المجموعة .

2.3.1.عدد التباينات لمجموعة ذات p عنصرا في مجموعة ذات n عنصرا :
ان عدد التطبيقات المتباينة لمجموعة منتهية E عدد عناصرها p في مجموعة منتهية F عدد عناصرها n هو : n(n-1)(n-2)...(n-p+1)
) جداء p عددا طبيعيا الأصغر من أو تساوي n ( . وهو عدد الطرق التي يمكننا بها ترتيب p عنصرا من بين n .
نرمز لعدد ترتيبات p عنصرا من بين n ب و عليه يكون : مع
مثال : نفرض أن F مكونة من 5 عناصر ؛ كيف نختار 3 عناصر مختلفة من F ؟
أي ؛ كيف نعين ترتيبة ل 3 عناصر من F ؟
يمكن أن نختار في البداية عنصرا أول ؛ توجد 5 امكانيات لذلك . ثم نختار عنصرا ثانيا يختلف عن العنصر الأول ؛ توجد 4 امكانيات لذلك . و أخيرا نختار عنصرا ثالثا يختلف عن العنصرين الأول و الثاني . هناك 3 امكانيات لذلك .
فيوجد اذن ترتيبة ل 3 عناصر من F .
مثال : عدد الرهانات الممكن لعبها حتى نضمن الفوز في سباق لخمسة عشر فرسا يفوز فيه الثلاثة الأوائل حسب الترتيب هو :

3.3.1. عدد التطبيقات لمجموعة منتهية في مجموعة لها نفس عدد العناصر :
• - تعريف : نسمي تبديلية لمجموعة منتهية E ذات n عنصرا كل تقابل للمجموعة في E حيث : .
رأينا في الفقرة السابقة أن عدد التطبيقات المتباينة لمجموعة ذات p عنصرا في مجموعة ذات n عنصرا حيث هو , في الحالة الخاصة p=n يصبح كل تطبيق متباين تقابلا لمجموعة ذات n عنصرا في مجموعة ذات n عنصرا , و عليه فان عدد التطبيقات التقابلية لمجموعة ذات n عنصرا في مجموعة تساويها في القدرة هو :

أي أن : .
مثال : عدد تبديلات المجموعة E = {a,b,c} هو :

ملاحظة :
يمكن كتابة العدد من أجل على الشكل :

و من أجل n=p يمكن كتابة : .
و هذا يقود نا الى اصطلاح : .

4.1. عدد الأجزاء ذات p عنصرا من مجموعة منتهية :
لتكن E مجموعة منتهية بحيث : .
1.4.1.الــتوفـيقـات :
نسمي توفيقة ل p عنصرا من بين n كل مجموعة جزئية للمجموعة F تشمل p عنصرا .

نرمز لعدد توفيقات p عنصرا من بين n بالرمز .
- اذا كان فلا توجد أي توفيقة ل p عنصرا من F و بالتالي:

من أجل .
- اذا كان p=0 فان التوفيقة الوحيدة هي المجموعة الخالية ومنه :
, .
خـــواص الأعــــداد :
1.ان العدد هو عدد طبيعي .
. , .
3. .
4. مثلث باسكال : يمكن تقسيم التوفيقات p عنصرا من بين n الى قسمين يضم أحدهما التي تشمل عنصرا معينا a و يضم القسم الثاني التوفيقات ) الأجزاء ( التي لا تشمل هذا العنصر .
فالتوفيقات التي تشمل العنصر a الى كل توفيقات (p-1) عنصر من بين (n-1) و يكون عددها بالتالي هو .
أما التوفيقات التي لا تشمل العنصر a فيمكن الحصول عليها بتشكيل كل الأجزاء ذات a عنصرا من بين (n-1) عنصرا المختلفة عن العنصر a و عددها هو .
و عليه يكون :

أمثلة :

تسمح العلاقة السابقة بتشكيل جدول يعطي من أجل القيم المتصاعدة للعددين n وp قيم الأعداد . هذا الجدول ذي المدخلين يستعمل مثل جدول الضرب . أي أن العدد يوجد في تقاطع السطر و العمود اللذين رقماهما n وp على الترتيب , و عليه يكون كل عدد هو مجموع العدد الذي يأتي فوقه مباشرة ) أي ( و سابق هذا الأخير في الترتيب الأفقي
) أي ( .
نحصل بذلك على الجدول التالي , و الذي يمكن تمديده الى أية قيمة شئنا , و الذي يحمل اسم : المثلث العددي لباسكال .


10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0 p n
1 1 1
1 2 1 2
1 3 3 1 3
1 4 6 4 1 4
1 5 10 10 5 1 5
1 6 15 20 15 6 1 6
1 7 21 35 35 21 7 1 7
1 8 28 56 70 56 28 8 1 8
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 9
1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 10
5. د سـتـور ثـنائـي الــحد:
اذا كان x و a عددين حقيقيين و n عددا طبيعيا فانه يمكننا التعبير عن بدلالة قوى x و a
كما يلي :
أي :
أمثلة :
ملاحظة : نلاحظ أن المعاملات الواردة في نشر عند استعمال ثنائي الحد لنيوتن هي الأعداد الموجودة في السطر ذي المرتبة n في المثلث العددي لباسكال .
5.1 أمـثـلة و تـطـبيـقـات:
مثال : أثبت أن .
ثم أحسب واستنتج .
لدينا , من أجل كل عددين طبيعين r و n.
اذن :
و بتوحيد المقامين نجد :
- لدينا حسب نشر نيوتن :
• - نضع فنجد :
• * نضع فنجد :

• نشتق بالنسبة للمتغير c فنجد :

• - و منه :

نضع فنجد :

• - نشتق فنجد بعد وضع :
• -
• -
• - و منه ينتج :
• -
• - مثال :
• - كم عددا مؤلفا من 4 أرقام متباينة يمكن أن نكونه بالأرقام : 3,2,1,5,7,6 .
• -
• - نكون مجموعة من الأعداد ذات 4 أرقام متباينة ) مختلفة ( .
• - عددالطرق هو عدد التراتيب
• -
• - و هو عدد الرباعيات بحيث
• - فهو عدد التطبيقات المتباينة من E الىF يوجد اذن 360 عددا مختلفا .
• - مثال :
• - يحتوي صندوق على 3 كرات (a,b,c) نريد سحب كرتين منه مع الارجاع .
• - ما هو عدد الطرق اللازمة لذلك ؟ ) عمم ل n كرة و نسحب منها r كرة مع الارجاع ( .
• - اذا كان السحب يتم دون ارجاع فما هو عدد الطرق الممكنة للسحب .
• - أ( مع مراعاة الترتيب .
• - ب( مع عدم مراعاة الترتيب .
• - نسحب كرتين من ثلاث مع الارجاع .
• - عدد الطرق هو .
• -
• - حيث :
• - أي : تعميم :
• - لدينا n كرة في صندوق .
• - نسحب منها r كرة مع الارجاع ) r مرة مع الارجاع (
• - عدد الطرق الممكنة
• -
• - اذا كان السحب يتم دون الارجاع :
• - أ( مع مراعاة الترتيب :
• -
• -
• - ب( دون مراعاة الترتيب :