Etude d'un onduleur, srie de Fourier, nombres complexes concours physique Capes 2009
05-11-2010

Cette partie tudie un onduleur de tension autonome commande symtrique ou dcale. Un onduleur est un convertisseur de tension alternative. Le montage est celui reprsent sur la figure ci-dessous :
les quatre interrupteurs bidirectionnels K1, K2, K3, K4 sont commands lectriquement de telle faon que :
pour nT< t < (n+)T K1 et K3 ferms K2 et K4 ouverts
pour (n+) T< t < (n+1)T K1 et K3 ouverts K2 et K4 ferms
Le gnrateur est une source de tension idale de f.e.m E constante. L est une inductance pure dite de lissage et R reprsente la charge.
Tracer la courbe u(t) en indiquant les points remarquables.




Ecrire l'quation diffrentielle vrifie par i(t), courant circulant dans la charge.
u(t) = Ldi/dt +Ri avec u(t) = E si nT< t < (n+)T et u(t) = -E si (n+) T< t < (n+1)T
Si i1(t) est la solution de cette quation pour 0 < t< T et i2(t) la solution de cette quation pour T < t < T,
Dterminer les expressions de i1(t) et i2(t) en fonction de R, L et E et en fonction des deux constantes d'intgration A1 et A2 ( que l'on ne cherchera pas calculer pour l'instant). On pose t = L/R.
nT< t < (n+)T : solution particulire i1 = E/R ; solution gnrale de di/dt+ 1/t i =0 : i1 (t) =A1 exp(-t/t).
i1(t) = A1 exp(-t/t) +E/R.
(n+) T< t < (n+1)T :solution particulire i2 = -E/R ; solution gnrale de di/dt+ 1/t i =0 : i2 (t) =A2 exp(-t/t).
i2(t) = A2 exp(-t/t) -E/R.
On se place en rgime permanent et on cherche dterminer les valeurs de A1 et A2. On pose a = exp(-T/(2t)).
Ecrire la condition de raccordement pour le courant t = T ; justifier.
La continuit de l'nergie stocke dans la bobine entrane la continuit de l'intensit.
i1(T) = A1 exp(-T/(2t)) +E/R = A1a+E/R ; i2(T) = A2 exp(-T/(2t)) -E/R = A2a-E/R
i1(T) =i2(T) ; A1a+E/R =A2a-E/R ; A2a -A1a =2E/R.
En crivant que le courant est priodique, crire une seconde relation entre A1 et A2. Rsoudre le systme.
i2(T) =i1(0) : A2 exp(-T/t) -E/R = A1 +E/R ; A2a2= A1 +2E/R.
A1 = A2 -2E/(Ra) ; A2a2=A2 -2E/(Ra) + 2E/R ; A2(a2-1) =2E/R(1-1/a) ; A2 = 2E/( a (a+1)R).
A1 = A2 -2E/(Ra) = 2E/( a (a+1)R)-2E/(Ra) ; A1 = -2E/((1+a)R).
Exprimer i1(t) et i2(t). Tracer le graphe i(t) en faisant apparatre les points remarquables.
i1(t) =-2E/((1+a)R) exp(-t/t) +E/R ; i1(t) =E/R [ 1-2/(1+a)exp(-t/t) ].
i2(t) = 2E/( a (a+1)R) exp(-t/t) -E/R ; i2(t) =E/R [ -1+2/(1+a)a)exp(-t/t) ].















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On va maintenant tudier l'influence de l'inductance de lissage.

Montrer que pour une tension sinusodale V de pulsation w, l'ensemble R et L se comporte comme un filtre passe-bas du premier ordre.
Pour cela, on calculera en notant V et Vs les grandeurs complexes associes aux tensions, la fonction de transfert H(jw) = Vs /V que l'on exprimera en fonction de w et t.
Puis on tudiera le comportement du module H de H(jw) pour les grandes et les petites pulsations.
V = (jLw +R) i ; Vs = R i ; Vs /V = R / (jLw +R) = 1 /(jLw/R +1) ; H(jw) = 1/(1+jwt ).
H(jw) = (1-jwt ) / ( 1+(wt)2) ; H = 1/( 1+(wt)2).
si w tend vers zro, H tend vers 1 ; si w tend vers l'infini, H ~ 1/(wt). Comportement d'un filtre passe-bas du 1er ordre.
Dterminer la pulsation de coupure wc du filtre.
H(wc) = Hmax / 2 = 1 /2 ; = 1/( 1+(wct)2) ; 1+(wct)2) = 2 ; (wct)2 = 1 ; wc = 1/t.
La tension en crnaux u(t) admet une dcomposition en srie de Fourier de la forme :

Justifier le fait que seuls les coefficients ßn correspondants des n impairs soient diffrents de zro.
La fonction sinus et la tension crnaux sont des fonctions impaires.
Calculer les coeficients ß1 et ß3 de la dcomposition en srie de Fourier de la tension uS(t).
Vs(t) = H V(t) = (1-jwt ) V(t) / ( 1+(wt)2)
exp(jq) = cos q + j sin q ; -j exp(jq) = -j cos q +sin q ; sin q est la partie relle de -j exp(jq).
b2k+1sin((2k+1)w0t) on associe la partie relle du complexe : -jb2k+1 exp(j(2k+1)w0t) ;
ß2k+1sin((2k+1)w0t +Fs 2k+1) on asocie la partie relle du complexe : -jß2k+1exp(jFs 2k+1 )exp(j(2k+1)w0t)
-jß2k+1exp(jFs 2k+1 )exp(j(2k+1)w0t) = -(1-j(2k+1)wt ) jb2k+1 exp(j(2k+1)w0t) /( 1+(2k+1)2(wt)2)
ß2k+1exp(jFs 2k+1 ) =(1-j(2k+1)wt ) b2k+1/( 1+(2k+1)2(wt)2)
Le nombre complexe a+jb s'crit r exp(jq) avec r =(a2+b2) et tan q = b/a.
ici a = b2k+1/( 1+(2k+1)2(wt)2) et b =-(2k+1)wt ) b2k+1/( 1+(2k+1)2(wt)2)
Identifier les parties relles : ß2k+1 = b2k+1/( 1+(2k+1)2(wt)2).
b2k+1= 4E/((2k+1)p) ; ß2k+1 = b2k+1/( 1+(2k+1)2(wt)2).
b1 =4E/p ; ß1 = 4E/(p ( 1+(wt)2) ; b3 =4E/(3p) ; ß3 = 4E/(3p ( 1+9(wt)2).









Dterminer le rapport B = ß3/ß1 et le calculer si w = wc.B = ( 1+(wct)2) / [3( 1+9(wct)2) ]; avec wct = 1
B = 2/(3*10) =0,15.
Pour alimenter la charge avec un courant quasi-sinusodal, on modifie la commande des interrupteurs pour modifier la tension u(t) et obtenir une tension ud(t) reprsente ci-dessous :

Cette tension admet la dcomposition en srie de Fourier suivante :

Comment faut-il choisir q pour que l'harmonique de rang 3 soit nul ? Dans ce cas, calculer pour la plus petite valeur positive de q et pour w = wc, le rapport D = d5/d1, o d5 est l'amplitude de l'harmonique de rang 5 et d1 est l'amplitude du fondamental ( ou harmonique de rang 1) de la tension aux bornes de R. Conclure.
cos (1,5w0q) = cos((2k+1) p /2) ; 1,5w0q=(2k+1) p /2 ; q=(2k+1) p /(3w0).
La plus petite valeur de q est : q= p /(3w0)
b1 = cos (w0q/2) = cos ( p/6) =0,866 ; b5 = cos (5w0q/2)/5 = cos ( 5p/6) /5= -0,173.
D = d5/d