Gomtrie dans l'espace : droites, plans, orthogonalit, paralllisme
04-18-2010

I. Caractrisation de droites et de plans dans lespace

1. La droite

Pour reprer un point sur une droite, qua-t-on besoin ?

→ dune graduation, donc dune distance, donc de deux points distincts.

Ainsi, une droite est dfinie par deux points distincts.

La droite contenant les points A et B se nomme la droite (AB).

Remarque : une droite se caractrise par un point et une direction.



2. Le plan

Pour reprer un point sur un plan, qua-t-on besoin ?

→ dun repre, donc de deux droites scantes, donc trois points non aligns.

Ainsi, un plan est dfini par trois points non aligns.

Le plan contenant les points A, B et C se nomme le plan (ABC).


II. Position de deux droites de lespace

1. Droites coplanaires

Dfinition :
Deux droites sont dites coplanaires lorsquelles sont contenues dans un mme plan.


Remarque :

Dans ce cas, elles sont soit parallles, soit scantes et nous pouvons appliquer les proprits et thormes vu en gomtrie plane.


Exemple :



Dans le plan (ABC) : (AB) // (CD)

(AB) et (BC) sont scantes.

Dans le plan (ABG) : (AB) // (GH)

(AB) et (BG) sont scantes.

Transitivit du paralllisme :
Si deux droites sont parallles une mme troisime droite, alors elles sont parallles entre elles.



2. Droites non-coplanaires

Dfinition :
Deux droites sont dites non-coplanaires lorsquelles ne sont pas contenues dans un mme plan.


Exemple :

Dans le cube prcdent, les droites (AB) et (CG) ne sont contenues dans aucun plan commun. Elles sont non-coplanaires.


Remarque :

Dans lespace, deux droites peuvent tre non parallles et non scantes.



III. Position de deux plans de lespace

Deux plans de lespace sont soit scants, soit parallles.Proprit :
L'intersection de deux plans est une droite, appele droite dintersection.







Exemple :


Dans le cube ABCDEFGH,

(ABC) (AGB) = (AB)

(ABC) (DCG) = (DC)

(ABC) (DFG) = (AD)Dfinition :
Deux plans sont parallles lorsquils sont confondus ou lorsquils nont aucun point commun.


Exemple :

(ABC) = (ABD) et (ABC) // (EFG)

Proprit :
Deux plans sont parallles si et seulement si deux droites scantes dun des deux plans sont parallles deux droites de lautre plan.






Transitivit du paralllisme :
Si deux plans sont parallles un mme troisime plan, alors ils sont parallles entre eux.






Proprit :
Soient deux plans parallles.


Si un troisime plan est perpendiculaire lun des deux plans, alors il perpendiculaire lautre plan.








IV. Position dune droite et dun plan dans lespace

Une droite et un plan sont soit scants, soit parallles.

Dfinition :
Une droite et un plan sont scants sil existe un point dintersection.




La droite (d) et le plan (P) se coupent au point A.

Dfinition :
Une droite et un plan sont parallles lorsquils sont soit confondus, soit lorsquils nont pas de point dintersection.


Exemple :

Dans le cube ABCDEFGH, (AC) (ABC) et (EG) // (ABC).

Proprit :
Si deux plans sont parallles, tout plan coupant lun, coupe lautre. Les droites dintersection sont parallles entre elles.








V. Orthogonalit dans lespace

1. Droites orthogonales

Dfinition :
Deux droites de l'espace sont dites orthogonales lorsqu'il existe une droite parallle l'une et perpendiculaire l'autre.




(d1) et (d2) sont orthogonales.

Exemple :

Dans le cube ABCDEFGH, nous avons :

(EF) et (BC) sont orthogonales.


2. Droite et plan orthogonaux/perpendiculaires

Dfinition :
Une droite est orthogonale (perpendiculaire) un plan lorsquelle est orthogonale deux droites scantes de ce plan.







Exemple :

Dans le cube ABCDEFGH, la droite (FB) est orthogonale aux droites (AB) et (BC), elle est donc orthogonale au plan (ABC).

Proprit :
Si une droite est orthogonale un plan, elle est orthogonale toutes les droites de ce plan.


Exemple :

Dans le cube ABCDEFGH, la droite (FB) est orthogonale (ABC), ainsi (FB) est orthogonale (AC).

Proprit :
Si deux droites sont orthogonales un mme plan, alors elles sont parallles entre elles.






Proprit :
Si deux plans sont orthogonaux une mme droite, alors ils sont parallles entre eux.







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