huit exercices sur le thorme des milieux
04-17-2010


Pour les exercices 1 4, on considre un triangle ABC et on dsigne par I,J et K les milieux respectifs des cts [BC], [AC] et [AB].


exercice 1

On suppose que ABC est rectangle en A.


1. Que peut-on dire des droites (IJ) et (AB) ? des droites (IJ) et (AC) ?


2. Prciser la nature du quadrilatre AJIK.




exercice 2

Tracer un triangle ABC sachant que AB = 4 cm, AC = 5 cm et BC = 6 cm.


1. Prouver que la droite (BJ) coupe le segment [KI] en son milieu.


2. Calculer les primtres du triangle IJK et des quadrilatres AKIJ, BKJI et CIKJ.




exercice 3

On suppose que AB = 7 cm, AC = 8 cm et BC = 12 cm. On dsigne par L et M les milieux respectifs de [KJ] et [KI].


1. Prouver que la droite (LM) est parallle la droite (AB).


2. Calculer le primtre du triangle KLM.




exercice 4

Soit M le milieu de [AK] et N celui de [KB].


1. Prciser la nature du quadrilatre MJIN.


2. Comment choisir le triangle ABC pour que MJIN soit un rectangle ? un losange ? un carr ?




exercice 5

Tracer un triangle ABC, puis construire les points D, E, F, G, H et I, symtriques respectifs de A par rapport C, de A par rapport B, de C par rapport B, de C par rapport A, de B par rapport A et de B par rapport C.

Comparer les primtres du triangle ABC et de l'hexagone DEFGHI.




exercice 6 - Les trois paralllogrammes




Dans la figure ci-contre, ABCD et ABEF sont deux paralllogrammes de centres I et J.


1. Montrer que les droites (CE) et (DF) sont parallles

(indication : on pourra utiliser la droite (IJ)).


2. En dduire la nature du quadrilatre DFEC.




exercice 7




I et J sont les milieux de [BC] et de [CD]. La parallle (AB) passant par I et la parallle (AD) passant par J se coupent en P.

Montrer que P est le milieu de [AC].






exercice 8 - Le premier tiers



Les donnes :

ABCD est un paralllogramme ;

D' est le symtrique de D par rapport A ;

E appartient au segment [AB] et AE = AB ;

(D'E) coupe (DC) en F.

Montrer que CF = CD.




Correction



exercice 1

1. On sait que I est le milieu du segment [BC] et que J est le milieu du segment [AC].

Or, dans un triangle, si une droite passe par les milieux de deux cts, alors elle est parallle au troisime.

J'en conclus que les droites (IJ) et (AB) sont parallles.


On sait que ABC est un triangle rectangle en A, donc les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires, ou encore, les droites (AB) et (AJ).

On sait que les droites (AB) et (IJ) sont parallles.

Or, si deux droites sont perpendicualires, alors toute perpendiculaire l'une est perpendiculaire l'autre.

J'en conclus que les droites (AC) et (IJ) sont perpendiculaires.


2. (IJ) et (AB) sont parallles, [AK] appartient [AB]. AK vaut la moiti de AB, ainsi que IJ.

On a donc un quadrilatre qui a un angle droit, et deux cts opposs qui sont parallles de mme mesure. Ce quadrilatre est un rectangle.

AKIJ est donc un rectangle.




exercice 2

1. D'aprs le thorme des milieux, si un segment coupe l'un des trois cts d'un triangle en son milieu, et paralllement un autre ct de ce triangle, ce segment coupera le troisime ct du triangle en son milieu, et la longueur du segment sera gale la moiti du ct auquel il est parallle.

Soit H le point d'intersection entre la droite (BJ) et la droite (KI).

On sait que les segments [AJ] et [KI] ont la mme longueur, et sont parallles d'aprs le thorme des milieux.

Puisque (KH) est parallle (AJ), et que [KH] coupe [AB] dans son milieu, alors KH vaut la moiti de AJ.


Donc H est bien le milieu de [KI]


2. Le primtre de IJK vaut : IJ + IK + JK.

IJ vaut la moiti de AB, soit 2 cm

IK vaut la moiti de AC, soit 2,5 cm

KJ vaut la moiti de BC, soit 3 cm

Primtre de IJK = 2 + 2,5 + 3 = 7,5 cm


Primtre de AKIJ = AK + KI + IJ + JA

AK = JI = 2 cm

KI = JA =2,5 cm

Primtre de AKIJ = AK + KI + IJ + JA = 2 + 2 + 2,5 + 2,5 = 9cm


Primtre de BKIJ = BK + KJ + JI + IB

BK = AK = IJ = 2 cm

BI = KJ = 3 cm

Primtre de BKIJ = BK + KJ + JI + IB = 2 + 2 + 3 + 3 = 10 cm


Primtre de CIKJ = CI + IK + KJ + JC

CI = BI = KJ = 3 cm

JC = JA = IK = 2,5 cm

Primtre de CIKJ = CI + IK + KJ + JC = 3 + 3 + 2,5 + 2,5 = 11 cm




exercice 3

1.D'aprs le thorme des milieux, (AB) et (IJ) sont parallles, et IJ vaut la moiti de [AB].

[ML] coupe [KI] et [KJ] respectivement dans leurs milieux, donc d'aprs le thorme des milieux, (ML) est parallle (IJ) et la longueur ML vaut la moiti de la longueur IJ. Puisque (ML) est parallle (IJ), et que (IJ) est parallle (AB), alors (ML) est parallle (AB).


2. Ainsi, puisque IJ vaut la moiti de AB, et que ML vaut la moiti de ML, alors ML vaut la moiti de la moiti de AB, soit le quart de AB.

Il en est de mme pour KL qui vaut le quart de BC, et KM qui vaut le quart de AC, donc le primtre de KLM vaut le quart du primtre de ABC.

Primtre de ABC = 7 + 8 + 12 = 27 cm

Primtre de KLM = 27/4 = 6,75 cm




exercice 4

1. (IJ) est parallle (MN), et la longueur de IJ, vaut la moiti de la longueur de AB.

KN = NB = KM = MA. Donc MN = KM + KN. Donc MN vaut la moiti de AB, soit la mme longueur que le segment [IJ].

Puisque (IJ)//(MN) et que [IJ] et [MN] ont la mme longueur, alors MJIN est un paralllogramme.


2. MJIN est un rectangle, si (NI) et (JI) sont perpendiculaires, et donc si ABC est isocle en C.

MJIN est un losange si NI = IJ , et donc si la mdiane issue de C soit gale AB. Il faut donc que ABC soit inscrit dans un cercle de centre K, et de rayon AB.

MJIN est un carr si MJIN est un losange et un rectangle, donc si les deux conditions ci dessus sont vrifies. Ce qui nous donne un triangle tel que CK = AB, avec CK une hauteur du triangle ABC.




exercice 5

Le primtre de DEFGHI vaut le triple du primtre de ABC.

En effet, EF = AC ,FG = 2 AB , GH = BC , HI = 2 AC , ID = AB , et ED = 2 BC

DE + EF + FG + GH + HI + ID = primtre de DEFGHI.

2 BC + AC + 2 AB + BC + 2 AC + AB = 3 BC + 3 AB + 3 AC

= 3 (BC + AB + AC) = 3 Primtre de ABC




exercice 6

1. Puisque I et J sont les centres respectifs des paralllogrammes ABCD et ABEF , alors , I et J sont les milieux de [AE], [AC] , [BD] et [BF].

En se plaant dans le triangle ACE, (IJ) coupe les segments [AC] et [AE] dans leurs milieux respectifs. (IJ) est donc, d'aprs le thorme des milieux, parallle (CE).

En se plaant dans le triangle BDF, (IJ) coupe les segments [BD] et [BF] dans leurs milieux respectifs. (IJ) est donc, d'aprs le thorme des milieux, parallle (DF).

Puisque (IJ) est parallle (CE) et (DF) , (CE) et (DF) sont parallles.


2. D'aprs le thorme des milieux, IJ vaut la moiti de CE, mais IJ vaut aussi la moiti de DF. IJ tant constant, [CE] et [DF] ont la mme mesure.

De plus, (CE)//(DF) donc CDFE est un paralllogramme.




exercice 7


Dans le triangle CAD,la parallle (AD) passant par J coupe [CA] dans son milieu, d'aprs le thorme des milieux.

Dans le triangle CAB,la parallle (AB) passant par I coupe [CA] dans son milieu, d'aprs le thorme des milieux.

Le milieu de [CA] tant unique, la parallle (AB) passant par I, et la parallle (AD) passant par J, se coupent dans le milieu du segment [CA]. L'intersection de ces deux droites tant le point P, P est le milieu de [CA].




exercice 8

Puisque ABCD est un paralllogramme, et que E appartient [AB], on a (AE) qui est parallle (DC). Or F appartient [DC] donc (AE) est parallle (DF).

Dans le triangle D'DF ,puisque (AE)//(DF) et que A est le milieu de [D'D] , on a alors, d'aprs le thorme des milieux, DF = 2AE.

Or AE = AB, donc DF = 2 AB.

Étant donn que DC = AB, et que DF = 2 AB, DF = 2 CD, et donc CF = CD - DF = CD - 2 CD

CF = CD


__________________