Le théorème de Thalès et sa réciproque
04-16-2010
I. Théorème de Thalès
1. Rappel (4ème)
Dans un triangle ABC,
si M est un point du côté [AB], N un point du côté [AC],
et si les droites (BC) et (MN) sont parallèles, alors :
Autre configuration connue :
2. Exercice découverte : nouvelle configuration de Thalès
On considère la figure suivante :
Les droites (d) et (d’) sont sécantes en A ; B et M sont deux points de la droite (d), distincts de A ;
C et N sont deux points de la droite (d’), distincts de A ;
les droites (BC) et (MN) sont parallèles.
a) Par la symétrie de centre A, construire les points M’ et N’, symétriques respectifs des points M et N.
b) Que peut-on dire des droites (M’N’) et (BC) ? Expliquer.
c) Expliquer pourquoi AM’ = AM, AN’ = AN et MN = M’N’.
d) Expliquer pourquoi
Solution :
a)
b) On sait que les points M’ et N’ sont les symétriques respectifs des points M et N par rapport au point A. Donc (M’N’) est la symétrique de (MN) par rapport à A.
Or, la symétrique d’une droite par rapport à un point est une droite parallèle.
On en déduit que les droites (MN) et (M’N’) sont parallèles.
De plus, on sait que les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
Or, si deux droites sont parallèles, alors toute parallèle à l’une est parallèle à l’autre.
On en conclut que les droites (M’N’) et (BC) sont parallèles.
c) On sait que M’ est le symétrique de M par rapport à A, donc AM’ = AM.
On sait que N’ est le symétrique de N par rapport à A, donc AN’ = AN.
Les segments [MN] et [M’N’] sont symétriques par rapport à A. Or, la symétrie centrale conserve les longueurs, donc MN = M’N’.
d) Dans le triangle ABC, M’ est un point du côté [AB], N’ est un point du côté [AC] et les droites (M’N’) et (BC) sont parallèles, alors
Or, on a montré que AM’ = AM, AN’ = AN et que M’N’ = MN, donc :
3. Conclusion
Les trois configurations de Thalès :
Théorème de Thalès :Soient (d) et (d’) sont deux droites sécantes en A,
Soient B et M deux points de la droite (d), distincts de A,
Soient C et N deux points de la droite (d’), distincts de A.
Si les droites (BC) et (MN) sont parallèles, alors :
4. Exemple
Sur la figure ci-dessus, on donne :
AB = 12 cm, AN = 4cm, AC = 6 cm, MN = 3 cm.
Les droites (BC) et (MN) sont parallèles.
Calculer AM, puis BC.
Solution :
Les droites (BN) et (CN) sont sécantes en A, les droites (BC) et (MN) sont parallèles.
Donc, d’après le théorème de Thalès, on a :
c’est-à-dire :
De Donc : AM = 8 cm
De Donc : BC = 4,5 cm
II. Réciproque du théorème de Thalès
Données :
A, B, M et A, C, N sont alignés dans le même ordre.Réciproque du théorème de Thalès :
Soient (d) et (d’) deux droites sécantes en A,
Soient B et M deux points de (d), distincts de A,
Soient C et N deux points de (d’), distincts de A.
Si
alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles.
Exemple :
Sur la figure ci-dessus, les points A, M, B et A, N, C sont alignés.
Montrer que les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
Solution :
On a :
Donc :
De plus, les droites (BM) et (CN) sont sécantes en A, les points C, A, N sont alignés dans le même ordre que les points B, A, M.
D’après la réciproque du théorème de Thalès, on en déduit que les droites (BC) et (MN) sont parallèles.
III. Construction de points
On peut aussi utiliser le théorème de Thalès pour placer des points.
1. Construction :
Exercice :
Placer deux points A et B.
Tracer à la règle non graduée et au compas le point M du segment [AB] qui vérifie
Solution :
- On trace une demi-droite [A
- On choisit une ouverture de compas et on trace sur [A
- On trace (BB’), puis sa parallèle passant par M’. Elle coupe [AB] en M.
Justification :
Les droites (B’M’) et (BM) sont sécantes en A, les droites (BB’) et (MM’) sont parallèles.
Donc, d’après le théorème de Thalès :
Et comme
2. Construction :
Exercice :
Placer deux points A et B.
Tracer à la règle non graduée et au compas les points M de la droite (AB) tels que
Solution :
- On trace deux droites parallèles (d) et (d’) telles que (d) passe par A et (d’) passe par B.
- On choisit une ouverture de compas et on trace sur la droite (d) deux segments consécutifs de même longueur de part et d’autre du point A. Et on trace sur la droite (d’) cinq segments consécutifs de même longueur à partir du point B (on garde la même unité).
- On place G1 et G2 sur la droite (d) tels que AG1 = AG2 = 2 et H sur la droite (d’) tel que BH = 5.
- Les droites (HG1) et (HG2) coupent (AB) en M1 et M2.
Justification :
- Les droites (G2H) et (AB) sont sécantes en M2. Les droites (AG2) et (BH) sont parallèles.
Donc d’après le théorème de Thalès, on a :
- Les droites (AB) et (G1H) sont sécantes en M. Les droites (AG1) et (BH) sont parallèles.
Donc d’après le théorème de Thalès, on a :
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اللهم صل وسلم على محمد وعلى آل محمد وصحبه اجمعين
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