معادلات القيم المميزة Eigenvalues Equations
06-02-2010

بسم الله الرحمن الرحيم
والصلاة والسلام على رسول الله
"محمد بن عبدالله"
وعلى آله وصحبه أجمعين
السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
تحية طيبة إليكم

هذه نبذة سريعة عن ...

معادلات القيم المميزة Eigenvalues Equations

تستلزم المعادلة الرياضية أو التعبير الرياضي الكامل مؤثراً رياضياً للدلالة على نوع العمليات المراد إجرائها يتبعه دالة رياضية لإجراء هذه العملية عليها.
وهذان الحدان يعتبران الحد الأيسر المعطى في المعادلة الرياضية أما الطرف الأيمن فهو نتيجة هذه العملية.

فمثلاً ... المعادلة تعني أن المؤثر أثر على الرقم 9 بأخذ الجدر التربيعي له، وكانت النتيجة هي 3.

وبالمثل في المعادلة

فالطرف الأيمن يحتوى على المؤثر والدالة أما الطرف الأيمن فهو نتيجة العملية الرياضية.

وهناك نوع معين من المعادلات الرياضية المعروفة باسم معادلات القيم المميزة Eigenvalue Equations(حيث eigenwert تعني مميز أو خاص بالألمانية)، والشكل العام لهذا النوع من المعادلات هو:


حيث هو مؤثر رياضي، و دالة رياضية في المتغير x.

ويُطلق على "القيمة المميزة Eigenvalue "، في حين يُطلق على الدالة في هذه الحالة اسم "الدالة المميزة Eigenfunction" للمؤثر .

وهذا النوع من المعادلات يلعب دوراً رئيسياً في ميكانيكا الكم، وفي الحقيقة فإن العبء الرياضي الأساسي في تطبيق نظرية الكم هي في حل هذه المعادلات.

ومن أشهر معادلات القيم المميزة في ميكانيكا الكم ... معادلة شرودينجر الغير معتمدة على الزمن والتي لها الصورة التالية:



وفيها يؤثر الهاميلتونيان على الدوال المميزة والتي هي دوال موجية.

والقيم المميزة للهاميلتونيان تمثل حالات الطاقة المختلفة للنظام، وبمعنى آخر، قيم الطاقة المسموح بها للنظام هي عبارة عن القيم المميزة للهاميلتونيان.

أما في الجبر الخطي ...

لكل خاصية طبيعية، مثل الطاقة أو كمية الحركة، يوجد مؤثر والذي يمكن تمثيله بمصفوفة matrix، والقيم المميزة لهذه المصفوفة هي القيم المتاحة عند قياس هذه الظاهرة.

وفي هذه الحالة تصبح معادلة القيمة المميزة على الصورة:



وهنا ... تسمى الدالة المميزة بالمتجه المميز eigenvector للمؤثر، حيث:


و تسمى بالحالة المميزة eigenstate.

والله أعلى وأعلم ...

دمتم في رعاية الله وحفظه
لا تنسونا من صالح دعائكم
وصلي اللهم وبارك على نبي الرحمة سيد ولد أدم أبى القاسم "محمد بن عبد الله" وعلى آله الطيبين الطاهرين وعلى أصحابة الغر الميامين وسلم تسليماً كثيراً

__________________




المصدر
http://www.hazemsakeek.com/vb/showthread.php?p=137726

التعديل الأخير تم بواسطة FARES-DZ ; 07-14-2010 الساعة 10:38 AM