champ et interactions
05-06-2010

forces centrales
  1. On considre deux objets ponctuels de masse m1 et m2 situs une distance r l'un de l'autre, aux points M1 et M2.

  1. - Exprimer la force d'interaction exerce par m1 sur m2. Le vecteur unitaire sera dirig de M1 vers M2.

  1. - Montrer que si m1 est une masse symtrie sphrique de centre M1, la relation prcdente est vrifie l'extrieur de la sphre (On pourra utiliser le thorme de Gauss).

  1. - Etablir l'expression de l'nergie potentielle Ep du systme constitu par les masses m1 et m2 . On choisira par convention que l'nergie potentielle s'annule lorsque les masses sont infiniment distantes.
  2. On considre le systme isol constitu des deux objets ponctuels de masses m1 et m2 situs en M1 et M2 dans un rfrentiel galilen. L'origine du repre est note O. On note G le centre d'inertie du systme.

  1. - Exprimer le vecteur OG en fonction des vecteurs OM1 et OM2.

  1. - Prciser en justifiant le mouvement du point G. En dduire que le rfrentiel barycentrique est galilen.

  1. - On appelle f2 la force qu'exerce m1 sur la masse m2 et M1M2 = r . Etablir la relation, dans le rfrentiel barycentrique,dans laquelle on tablira l'expression de la masse rduite m en fonction de m1 et m2.
  2. Dans la suite, on se place dans le rfrentiel barycentrique. L'objet de masse m1 se dplace la vitesse v1 et l'objet de masse m2 la vitesse v2.

  1. - Etablir l'expression du moment cintique de l'ensemnle du systme par rapport un point N quelconque.

  1. - Montrer que sa valeur est indpendante de la position du point N.

  1. -

  1. - Justifier que le moment cintique est conserv et que le mouvement est plan.

  1. - Dans le plan de la trajectoire, oriente par le moment cintique, on note (r,q), les coordonnes polaires du vecteur GM. Montrer que C=r q' est constant au cours du temps. Justifier le nom de constante des aires donne C.- Donner l'expression de l'nergie cintique Ec du systme constitu par les deux objets

  1. - Montrer que cette expression est identique celle obtenue pour un objet de masse m se dplaant la vitesse v.

  1. - Exprimer Ec en utilisant les coordonnes polaires. En dduire que :
    - Ecrire l'expression de l'nergie mcanique du systme.
  2. On considre le systme constitu d'un noyau atomique de masse M de charge Ze, et d'une particule a(noyau d'hlium de masse m et de charge 2e. L'interaction gravitationnelle peut tre nglige devant l'interaction lectrostatique; le justifier en considrant M=3,27 10-25 kg; Z=79 ; m= 6,65 10-27kg. permittivit du vide e0 = 8,85 10-12 F/m.

  1. - Par analogie avec les rsultats prcdents donner l'expression de l'nergie mcanique du systme.
corrigForce de gravitation exerce par m1 sur m2 distants de r :
G est la constante de gravitation.
La symtrie sphrique indique que le champ est radial et ne dpend que de r.
thorme de gauss : le flux du champ de gravitation travers une surface ferme est gal la somme des masses intrieures multiplie par - 4pG.


On prend comme surface de Gauss une sphre de rayon r : sur cette sphre le champ de gravitation a une norme constante et est colinaire au vecteur surface.
pour r suprieur au rayon de la rpartition de masse, la somme des masses intrieures est m1.
g(r) 4pr = -4pGm1.
g(r) = - Gm1/r

Pour une rpartition de matire symtrie sphrique, le champ de gravitation l'extrieur est identique celui cre par un point matriel confondu avec le centre de la sphre.
D'aprs le principe des actions mutuelles la force qui s'exerce sur M1 est l'oppose de la force qui s'exerce sur M2. Le travail de ces deux forces est :

On peut trouver, par intgration, une fonction nergie potentielle telle que dW=- dEp
Ep = -Gm1m2 / r . cette negie tend vers zro si r tend vers l'infini.dfinition du barycentre :

driver par rapport au temps, utiliser la relation fondamentale de la dynamique pour chaque point

Le mouvement de G est donc un mouvement rectiligne uniforme. En consquence, le rfrentiel barycentrique, en translation rectiligne uniforme par rapport au rfrentiel du laboratoire, est galilen.crire la relation fondamentale de la dynamique pour chaque masse puis soustraire membre membre


Le moment cintique des deux masses s'crit :

(1) est la dfinition du barycentre; driver cette expression par rapport au temps pour obtenir (2)
La dernire expression du moment cintique ne dpend plus de N.

La particule fictive de masse m subit une force centrale note f2 de la part de G. La drive du moment cintique par rapport au temps est nulle et le moment cintique est constant.
Le moment cintique est un invariant vectoriel et le mouvement est dans un plan contenant G ,orthogonal au moment cintique.en coordonnes polaires le moment cintique s'crit :

l'invariance du moment cintique conduit : r dq/dt=C
en notant dS l'aire balaye pendant la dure dt, la vitesse arolaire est galement une constante du mouvement:
dS/dt = r dq/dt = C
expression de la loi des aires dont l'nonc est le suivant :
dans un mouvement force centrale,le rayon vecteur balaie des aires gales pendant des dures gales.
nergie cintique dans le rfrentiel barycentrique :
Ec = m1v1 +m2v2
remplacer les vitesses par leurs expressions en fonction de v:
Ec = m1(m2/(m1+m2))v + m2(m1/(m1+m2))v = mv.
en coordonnes polaire l'nergie cintique s'crit :
Ec= m[r' + r q']
faire apparatre C = rq'
Ec= m[r' + C/r ]
l'nergie mcanique est la somme de l'nergie cintique et potentielle
E = m[r' + C/r ] -Gm1m2/r.force gravitationnelle : 6,67 10-11*3,27 10-25* 6,65 10-27 / d = 1,45 10-61 /d
force de Coulomb : 9 109 *79 * (1,610-19) / d =1,82 10-26 /d
force de coulomb / force de gravitation = 1,2 1035.
nergie du systme : E = mv + 2Ze / (4pe0r)